LES MATHÉMATIQUES DE LA MUSIQUE

LES MATHÉMATIQUES DE LA MUSIQUE

Peut-on expliquer mathématiquement l’harmonie ? Retrouve t-on des formes géométriques en musique? Peut on dire que la musique tout comme les mathématiques sont des outils pour la science ? Lors du concert Les mathématiques de la musique nous aborderons et donnerons  des clés aux jeunes pour aller plus loin, grâce à des œuvres de Strauss, Rameau, Mahler, Bach, Saint-Saëns, Bartók ou encore Goulet. Découvrons ensemble comment Mathématiques et musique sont liés et font bon ménage à l’OSM !

Programmation:
Strauss – Ainsi parlait Zarathoustra, ouverture
Maxime Goulet : Citius, Altius, Fortius
Rameau – Suite de Ballet : III. Tambourin de “Fêtes d’Hébé”
Mahler, Symphonie 1, 3ème mouvement (extrait)
J.S Bach : Toccata et Fugue en ré mineur – arrangement Bach-Stokowski
Bartók – Musique pour cordes, percussions et célesta, 4ème mouvement (extrait)
Saint-Saëns : Symphonie n. 3 pour orgue, Maestoso

La musique : une histoire d’ondes

La musique est l’art de jouer avec les sons! Sur le plan physique, les sons correspondent à des ondes qui, elles-mêmes, sont le résultat des vibrations : vibration d’une corde, vibration de l’air dans un tuyau, etc. La vibration engendre un branlement de l’air (l’onde), qui se propage, comme quand on lance un caillou dans une rivière. Les molécules d’air sont « bousculées » et se déplacent, se heurtent puis, une fois que l’onde est passée, chaque particule retrouve sa position de repos, c’est-à-dire la position qu’elle occupait avant le passage de l’onde. Ces minuscules mouvements des particules qui s’entrechoquent engendrent des changements de pression dans l’air : ainsi naît le son.

Même si les sons forment des ondes complexes qui ne sont pas parfaitement sinusoïdales, quelques notions de physique de base permettent de décrire les sonorités musicales. La hauteur de la note (grave ou aiguë) est liée à la fréquence de l’onde sonore, c’est-à-dire au nombre de périodes (ou de crêtes) que parcourt l’onde en une seconde. Elle s’exprime en Hertz (Hz). Un son aigu a une grande fréquence : les crêtes de l’onde sont rapprochées. La hauteur de la crête de l’onde s’appelle l’amplitude ; elle correspond au volume sonore que l’on exprime en décibels (Db) : plus la crête de l’onde est haute, plus l’amplitude de l’onde est grande, plus le volume est élevé.

Si le son est une onde caractérisée par une amplitude et une fréquence, elle l’est aussi par sa forme : le timbre. Dans cet exemple pour une même note jouée par trois instruments différents on constate une amplitude et une fréquence quasi similaire tandis que la forme de la période diffère.

La musique : une histoire de proportion

Un peu de théorie… Dès l’Antiquité, Pythagore a réussi à calculer mathématiquement les rapports sonores des intervalles musicaux les plus harmonieux. On mesure l’intervalle séparant deux notes en calculant le rapport de fréquences entre la note la plus aiguë et la note la plus grave. Par exemple, l’octave est l’intervalle qui sépare deux notes du même nom (do grave et do aigu). Le rapport entre les deux notes d’une octave est de 2 / 1. Donc, la fréquence de la note plus aiguë est le double de celle plus grave. Exemple : le Do2 a une fréquence de 132 Hz et le Do3 de 264 Hz, soit la fréquence de Do2 multipliée par 2. La quinte, qui a un rapport mathématique de 3 / 2, est l’intervalle le plus consonant après l’octave. Exemple : c’est le rapport mathématique entre les fréquences de Do3 et Sol3, où Sol3 (396 Hz) = 3 / 2 de Do3 (264Hz).

Le monocorde : instrument permettant à Pythagore de calculer les intervalles sonores les plus harmonieux.

La Musique : de la géométrie?

La Toccate et fugue en ré mineur du grand compositeur allemand Johann Sébastian Bach est certainement la pièce pour orgue la plus connue mondialement. Elle a été composée entre 1703 et 1707 et illustre de manière remarquable comment l’art de l’écriture musicale peut être expliqué par les mathématiques.

La fugue est une forme musicale où différentes parties reprennent un même motif. Les notions de géométrie les plus souvent présentes dans la fugue sont la translation (une séquence musicale est recopiée plusieurs fois, décalée dans le temps ou en hauteur) et la symétrie (une séquence est jouée à l’envers ou une séquence est recopiée en échangeant les intervalles ascendants et descendants). Les utiliser témoigne du génie des compositeurs comme J. S. Bach, car les rapports d’intervalles entre les notes doivent être toujours respectés pour faire naître l’harmonie. D’autres grands compositeurs classiques ont utilisé des procédés mathématiques.

Par exemple, Haydn, pour sa Symphonie no 47, a conçu un menuet palindromique (le jouer de la première note à la dernière note ou de la dernière à la première revient au même). Comme l’écrivait le philosophe allemand du 18e siècle Leibniz : « La musique est un exercice d’arithmétique secrète où l’esprit ne réalise pas qu’il compte. »

Autre exemple de palindrome !  Alban Berg – Opéra Lulu

Fibonacci et le nombre d’or

La suite arithmétique de Fibonacci s’obtient en additionnant à un nombre son prédécesseur immédiat dans la série : 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5, etc., ce qui donne 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 et ainsi de suite. Plus on avance dans la série, plus on s’approche de la règle d’or en divisant n’importe quel nombre par son successeur.

Bartok était un compositeur fasciné par les mathématiques et par les formes que l’on peut retrouver dans la nature, comme les spirales des coquilles d’escargot ou les rangées d’une pomme de pin. Ces deux exemples sont des formes d’architecture naturelle illustrant l’une des plus anciennes règles numériques qu’il a été convenu d’appeler la règle d’or.

La règle prescrit qu’une unité soit divisible en deux parties de telle sorte que le rapport de la plus grande partie à l’unité soit le même que le rapport de la petite partie à la plus grande. Bartók a utilisé ces proportions pour déterminer les durées relatives des différentes sections de ses œuvres.

Exemples du nombre d’or en art et en architecture :

Musique et cerveau

Citius, altius, fortius de Maxime Goulet

La devise des Jeux olympiques « Plus vite, plus haut, plus fort » donne son titre à cette courte et énergique ouverture orchestrale composée par le québécois Maxime Goulet en 2008. Elle est caractérisée par des textures rapides et agitées (citius – vite), divers gestes mélodiques ascendants (altius – haut) et de puissants accords joués aux cuivres (fortius – fort). C’est la pièce idéale pour illustrer l’impact de la musique sur notre corps !

Pas étonnant qu’on aime écouter de la musique en faisant du sport :  la musique stimule et encourage l’effort physique parce qu’elle « allume » littéralement toutes les zones de notre cerveau, et pas simplement l’aire auditive (qui correspond à la région du cerveau responsable de l’interprétation des sons). De plus, une équipe de chercheurs québécois a récemment découvert que lorsqu’on écoute une musique qui nous plaît, notre cerveau libère de la dopamine. C’est une molécule associée notamment au plaisir qui nous donne un véritable « coup de fouet » hormonal. Même au repos, les émotions induites par la musique se traduisent par des réactions physiques comme les frissons dans le dos, la chair de poule, l’accélération du rythme cardiaque ou encore les clignements des yeux, qui sont un indicateur du degré d’anxiété de l’individu. À l’écoute d’une musique désagréable, les clignements sont plus intenses, plus rapides et plus fréquents qu’avec une musique agréable.

Il faut à peine 500 millisecondes à notre cerveau pour distinguer si une musique est gaie ou triste : cela suggère que le cerveau humain répond aussi vite à la musique qu’à un stimulus qui menace sa vie. Et la connaissance de la musique n’y est pour rien : quand on demande à un groupe de personnes (musiciens ou non) de regrouper des morceaux selon l’émotion qu’ils suscitent (tristesse, gaité, colère, nostalgie), ils font tous les mêmes regroupements.

Saviez-vous que…

Le saviez-vous ?
-L’Adagio de Barber est considéré par de nombreux mélomanes comme l’œuvre la plus triste du répertoire.

La maison symphonique : une histoire d’acoustique

L’acoustique de la Maison symphonique est le fruit d’un minutieux travail d’ingénierie et d’acoustique. La salle est enveloppée d’une coquille structurale qui l’isole de tous les bruits et vibrations provenant de l’extérieur. Les piliers de la salle sont déposés sur des coussins, et elle est tapissée de 175 coussinets qui renforcent l’isolation sonore. À l’intérieur de l’édifice, toutes les sources potentielles de bruit comme les systèmes de chauffage, les ascenseurs ou encore les toilettes ont été pensés pour empêcher la propagation du son. Le bois de hêtre qui recouvre les murs répond à des exigences acoustiques élevées. De plus, l’auditorium est doté de panneaux de plafond mobiles permettant de modifier à volonté la géométrie du lieu. Ce mécanisme permet d’adapter l’acoustique en fonction du type d’événement présenté ou même des genres musicaux : l’ajustement des niveaux de réverbération permet, par exemple, de créer des ambiances intimistes ou grandioses.

Le Grand Orgue Pierre-Béique

Il est ainsi nommé en hommage au fondateur et premier directeur général de l’OSM (de 1939-1970) C’est un instrument ultra sophistiqué capable d’exprimer une palette de timbres exceptionnellement riche, s’étendant du pratiquement inaudible à une très grande puissance qui enveloppe tout l’orchestre.

Côté technologique, c’est un véritable caméléon sonore qui n’a rien à envier à un ordinateur, avec ses quatre claviers, 109 registres, 83 jeux, 116 rangs et un total de 6 489 tuyaux. L’orgue peut être commandé à partir de deux « postes de pilotage » séparés (les consoles), qui contiennent notamment les claviers, pédales et autres éléments utilisés par l’organiste. La première console est fixe et mécanique. Elle est attachée à la base de l’instrument. La seconde est électrique et mobile : elle peut être placée au sein de l’orchestre car un système électrique permet d’actionner à distance tous les contrôles et mécanismes de l’instrument. La construction et le montage du Grand Orgue Pierre-Béique, par le facteur d’orgue Casavant Frères, ont nécessité plus de deux ans et demi de travail. Avec ses 12 mètres de largeur, 15 mètres de hauteur et 5 mètres de profondeur, il pèse 35 tonnes ! C’est l’un des plus grands orgues à traction mécanique du monde.

Une Symphonie avec Orgue

La Symphonie n°3 en do mineur du compositeur français Camille Saint-Saëns a été écrite entre 1885 et 1886. Comme toute symphonie, il s’agit d’une oeuvre reposant sur l’ensemble des instruments de l’orchestre, mais la présence de l’orgue lui donne une couleur particulière. Prêtez l’oreille pendant le concert : parfois, le timbre de l’orgue se mélange parfaitement à l’orchestre; parfois il s’en démarque nettement.

Activités en classe

Choisis l’un des compositeurs du concert et enquête sur le contexte scientifique de son époque.

Exemple : quelles grandes inventions ont été faites à l’époque de Bach ou encore de Maxime Goulet ?

Nomme deux mathématiciens qui ont un lien avec la musique

Réponse :

Pythagore et Fibonacci

 

Te souviens-tu du nom du premier théoricien de l’harmonie musicale dont une œuvre a été jouée durant le concert?

Réponse :

Jean-Philippe Rameau

 

 

Quelles sont les trois caractéristiques d’un son?

Réponse :

L’amplitude, la fréquence et le timbre

 

Pour aller plus loin :

La musique algorithmique et le compositeur Iannis Xenakis :

Le Grand Orgue Pierre Béique expliqué par Jean-Willy Kunz :

Le Chant diphonique  et les harmoniques